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高等数学中微分方程的求解方法
2017-09-06 20:31:04

      高数中很多同学对求微分方程感到困难, 其实只要掌握了要领, 求解微分方程并不难.

       求微分方程首要的是识别微分方程的类型, 再按照不同的类型采用相应的方法求解即可. 每类微分方程的求解其实都只有一种思路, 只要把每类微分方程的求解方法理解透了就没有问题.

      各类微分方程的解法:

      1.可分离变量的微分方程解法 

       一般形式:g(y)dy=f(x)dx 

      直接解得∫g(y)dy=∫f(x)dx 

      设g(y)及f(x)的原函数依次为G(y)及F(x),则G(y)=F(x)+C为微分方程的隐式通解 

      2.齐次方程解法 

      一般形式:dy/dx=φ(y/x)

     令u=y/x则y=xu,dy/dx=u+xdu/dx,     所以u+xdu/dx=φ(u),

   即du/[φ(u)-u]=dx/x两端积分,得∫du/[φ(u)-u]=∫dx/x 最后用y/x代替u,便得所给齐次方程的通解 

       3.一阶线性微分方程解法 一般形式:dy/dx+P(x)y=Q(x) 

       先令Q(x)=0则dy/dx+P(x)y=0 

       解得y=Ce-∫P(x)dx,

       令y=ue-∫P(x)dx代入原方程 

       解得u=∫Q(x) e∫P(x)dxdx+C,

        所以y=e-∫P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C]

       即y=Ce-∫P(x)dx+e-∫P(x)dx∫Q(x)e∫P(x)dxdx为一阶线性微分方程的通解 

       4.可降阶的高阶微分方程解法 

       ①y(n)=f(x)型的微分方程 

        y(n)=f(x) y(n-1)= ∫f(x)dx+C1 y(n-2)= ∫[∫f(x)dx+C1]dx+C2 依次类推,接连积分n次,便得方程y(n)=f(x)的含有n个任意常数的通解

        ②y”=f(x,y’) 型的微分方程 

        令y’=p则y”=p’,所以p’=f(x,p), 再求解得p=φ(x,C1) 即dy/dx=φ(x,C1),所以y=∫φ(x,C1)dx+C2 

        ③y”=f(y,y’) 型的微分方程 

         令y’=p则y”=pdp/dy,所以pdp/dy=f(y,p),再求解得p=φ(y,C1) 即dy/dx=φ(y,C1),即dy/φ(y,C1)=dx,所以∫dy/φ(y,C1)=x+C2 

         5.二阶常系数齐次线性微分方程解法 

         一般形式:y”+py’+qy=0,特征方程r2+pr+q=0 特征方程r2+pr+q=0的两根为r1,r2 微分方程y”+py’+qy=0的通解 两个不相等的实根r1,r2 y=C1er1x+C2er2x 两个相等的实根r1=r2 y=(C1+C2x)er1x 一对共轭复根r1=α+iβ,r2=α-iβ y=eαx(C1cosβx+C2sinβx) 

          6.二阶常系数非齐次线性微分方程解法 

         一般形式: y”+py’+qy=f(x) 

       先求y”+py’+qy=0的通解y0(x),再求y”+py’+qy=f(x)的一个特解y*(x) 则y(x)=y0(x)+y*(x)即为微分方程y”+py’+qy=f(x)的通解 

       求y”+py’+qy=f(x)特解的方法:

        ① f(x)=Pm(x)eλx型 令y*=xkQm(x)eλx[k按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2]再代入原方程,确定Qm(x)的m+1个系数 

       ② f(x)=eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx]型 令y*=xkeλx[Qm(x)cosωx+Rm(x)sinωx][m=max﹛l,n﹜,k按λ+iω不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1]再代入原方程,分别确定Qm(x)和Rm(x)的m+1个系数

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